カテキヨースタッフより！
2024年10月27日
【大学入試】１１のｎ乗【共通テスト】
皆さんこんにちは、青森古川校の大坂です。
昨日に続き、今日は１１のｎ乗についてお話ししたいと思います。
２０２２年の共通テストで１１の５乗の計算が出たことが記憶に新しいですね。
１１を素直に５回掛けてもいいのですが、知っておくと若干早く解答できるかもしれません。
１１のｎ乗の値を求めるときはパスカルの三角形を思い浮かべると良いです。
何なら問題用紙に書いてしまっても良いと思います。
上のパスカルの三角形は６段目まで書いたものです。
（※一番上の段「１」は１１の０乗なので除きます）
１ １ ←１１の１乗＝１１
１ ２ １ ←１１の２乗＝１２１
１ ３ ３ １ ←１１の３乗＝１３３１
１ ４ ６ ４ １ ←１１の４乗＝１４６４１
１ ５ 10 10 ５ １ ←１１の５乗＝
１ ６ 15 20 15 ６ １ ←１１の６乗＝
実は４乗まではパスカルの三角形の数字をそのまま読むだけで１１のｎ乗が計算できます。
５乗以上は少し計算が必要です。
５乗の部分は
１ ５ １０ １０ ５ １
です。
一番右が一の位（＝１）、その左が十の位（＝５）、
その左が百の位（＝１０）ですが、百の位の数字は１繰り上がったと考えましょう。
つまり、百の位は０で、千の位に１繰り上がったと読みます。
そしてその左の千の位（＝１０）が１１となるので、
万の位が１繰り上がり、千の位は１と見ます。
万の位は（＝５＋１）で６、
十万の位は１です。
つまり１１の５乗は１６１０５１です。
同様に１１の６乗は
一の位１
十の位６
百の位５ ※１５の「５」の部分
千の位１ ※２０の「０」の部分に百の位から１繰り上がってきた
万の位７ ※１５の「５」の部分に千の位から２繰り上がってきた
十万の位７ ※「６」に万の位から１繰り上がってきた
百万の位１
で１７７１５６１です。
何でこの計算が成り立つの？ということについては
前回の二項定理が深くかかわっています。
詳しい説明は省きますが、
(x + y)n = nC0xny0 + nC1xn-1y + nC2xn-2y2 + nC3xn-3y3 + … + nCn-1xyn-1 + nCnx0yn
で x=10 , y = 1 を代入すると
左辺は 11nとなります。
右辺には10の０乗、１乗、２乗、３乗、…、ｎ乗が出てきますが
その係数がそれぞれ一の位の係数、十の位の係数、百の位の係数、千の位の係数、…
となっています。
パスカルの三角形、二項定理、（おまけの１１のｎ乗）については高校数学で必ず習うところで、特に二項定理についてはいろいろな分野で顔を出してきます。
実際の問題にたくさん触れ、使いこなせるようにしておきましょう。
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