カテキヨースタッフより！

2024年10月29日

【高校数学】現在判明している一番大きい素数は何桁？【指数・対数】

皆さんこんにちは、青森古川校の 大坂 です。

昨日出した問題ですが、高2，3年生の皆さまは挑戦してみたでしょうか？
早速解答を書いていきたいと思います。


問題
今回発見された新しいメルセンヌ素数 2^136279841-1 は何桁の数字か？
ただし必要であれば log₁₀2 = 0.30102999566 を使用して良い。
※学校で使用する log₁₀2 = 0.3010 では桁数検証が正確にできないのでより正確な数字を利用しています。


解）
Ｎ = 2^136279841 と置いて、Ｎの桁数を考える。
※知りたいのはＮから１引いた数の桁数ではあるが、ＮとＮ－１の桁数は同じなので、便宜上Ｎの桁数を考える。
※2の累乗は1000…000という形をしていないので1を引いても桁数は変わらない

Ｎがm桁の数字であると仮定すると

10^m-1 ≦ Ｎ < 10^m
が成り立つ。

各辺にlog₁₀を取ると

log₁₀10^m-1 ≦ log₁₀Ｎ < log₁₀10^m .

対数の基本公式により

m-1 ≦ log₁₀Ｎ < m .

Ｎ = 2^136279841　なので

m-1 ≦ log₁₀2^136279841 < m

m-1 ≦ 136279841 × log₁₀2 < m

m-1 ≦ 136279841 × 0.30102999566 < m

m-1 ≦ 41024319.94477549006 < m .

式を二つに分けると
m-1 ≦ 41,024,319.94477549006
41024319.94477549006 < m .

これを満たす m は m = 41,024,320。
よってＮは4102万4320桁の数となり、求めたかったメルセンヌ素数の桁数も4102万4320桁となる。

ちなみに１億桁以上の素数を発見すると１５万ドルがもらえるそうです。
メルセンヌ素数の形式であれば
n > 332192809 以上の数で探せばよいことになります。

誰でも参加できますので、探してみるのもありかも！？

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