カテキヨースタッフより！

2024年11月9日

【高校数学】素因数分解【中学数学】

皆さんこんにちは、古川校の 大坂 です。

今日はちょっと難しめな素因数分解の問題を持ってきました。
素因数分解自体は小学校からでも習いますが、今回は（使わなくても解けますが）
高校の知識を使った素因数分解の問題です。
ノーヒントで解けるでしょうか？

では早速問題です。
40001 を素因数分解せよ。

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答えは
13 × 17 × 181

でした。


解説します。
40001なので、その√40001≒200なので、200までの全ての素数で割れるかどうかを試しても良いですが、なかなか面倒そうです。
そこでいい方法がないか考えてみましょう。

素因数分解をする際に、因数分解の公式を利用する、という方法があります。
因数分解の公式だとよく出てくるのは
x² - y² = ( x + y )( x - y )
x³ + y³ = ( x + y )( x² - xy + y² )
x³ - y³ = ( x - y )( x² + xy + y² )
とかでしょうか。

ですが、今回はこの公式は使えそうにありません。

しかし高校1年で因数分解を習った際に次のような因数分解をやらされた記憶はないでしょうか？

x⁴ + x² + 1

今回はこの因数分解をする際に使った「考え方」を利用します。
この4乗、2乗、定数項で構成される多項式を複二次式というのですが、

x⁴ + 1

の部分に着目し、無理やり2乗を作る、という考えをします。
どういうことかと言いますと

x⁴ + 1 = ( x² + 1 )² - 2x²

のように無理やり2乗を作るのです。そして後から数合わせのために - 2x²を加えておきます。

そうすると元の多項式は

x⁴ + x² + 1 = ( x² + 1 )² - 2x² + x²
より

x⁴ + x² + 1 = ( x² + 1 )² - x²
となります。

そうすると、あら不思議、2乗引く2乗の形が出てくるんですね。
よって

x⁴ + x² + 1 = ( x² + x + 1 )( x² - x + 1 )
となります。


今回の40001についても
40001をまず200² + 1 と見てむりやり2乗を作ってみます。

200² + 1 = ( 200 + 1 )² - 2×200
= 201² - 400
= 201² - 20²
= (201 + 20 )( 201 - 20 )
= 221 × 181
= 13 × 17 × 181

となります。221と181は15までの素数で割れるかのチェックをするだけなので
そこまで時間がかからないでしょう。

多項式の因数分解は素因数分解に応用がききます。
困った時は因数分解できないか考えてみてはいかがでしょう。

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