2024年7月24日

【高校数学】素数は何個あるの？【証明】

皆さんこんにちは、青森県家庭教師協会・ＫＡＴＥＫＹＯ青森です。

皆さん、素数とは何か知っていますか？高校になるとよく出てきますが、
よくわからないという生徒も多いと思います。

素数（そすう、英: prime あるいは prime number）とは、2 以上の自然数で、正の約数が 1 と自分自身のみであるもののことである。正の約数の個数が 2 である自然数と言い換えることもできる。1 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。
（wikipediaより）

さて、今日は素数が無限にあることを高校生でも理解できる方法で証明しちゃいます。
今回は「背理法」を使って証明してみましょう。

素数が有限個（n個）であるとし、それぞれ小さい順に　p1（=2）、p2（=3）、p3（=5）、…、pn（=n番目の素数）と置きます。

そのうえで
X = p1×p2×p3×…×pn + 1
と置くと
このXは p1でもp2でもp3でも…pnでも割り切れません。
（Xの定義の仕方から1余る）
よってXは1と自分自身しか約数を持たない数であることが分かります。
つまりXは素数の定義から新しい素数であることがわかります。
（Xはp1でもp2でもp3でもpnでもない新しい素数）

これは素数が有限n個しか存在しないという事に矛盾します。
よって初めに素数が有限個でn個しかないとしたことがおかしいことになり、
素数は無限にあるということが証明されました。


高校では素数が無限にあることは教えられてもその証明を教えてはくれないと思います。
私も大学で高木貞治著の初等整数論講義を読んで初めてこの証明法を知りました。
こんなにも簡潔に証明できるのは面白いですね！
この記事を少しでも面白い！と思ったあなたは大学で数学を専攻するといいかも？！


書いた人：青森事務局　大坂

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